Có ba đồng xu được đựng trong một hộp kín. Đồng xu thứ nhất là một đồng xu cân đối với tỷ lệ mặt ngửa và mặt sấp bằng nhau. Đồng xu thứ hai là một đồng xu bị lỗi có khả năng mặt ngửa xuất hiện là 70%. Đồng xu thứ ba là một đồng xu hai mặt ngửa (khi tung luôn ra mặt ngửa). Bạn An lấy ngẫu nhiên một đồng xu từ hộp và tung nó hai lần. Kết quả của hai lần tung cho thấy xuất hiện một lần mặt sấp và một lần mặt ngửa. Tính xác suất để đồng xu bạn đã chọn là đồng xu thứ hai (đồng xu bị lỗi) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Phương pháp giải
Gọi biến cố, xác định xác suất đã cho
Chia các trường hợp thuận lợi cho việc tung một đồng xu hai lần được một mặt sấp và một mặt ngửa
Áp dụng công thức xác suất có điều kiện và công thức Bayes
Lời giải chi tiết
Gọi $A$ là biến cố chọn đồng xu thứ $n\,\,\left( {n = 1;\, 2;\, 3} \right)$
$B$ là biến cố tung hai lần thì thấy xuất hiện một lần mặt sấp và một lần mặt ngửa
Vì chọn ngẫu nhiên nên $P\left( A_{1} \right) = P\left( A_{2} \right) = P\left( A_{3} \right) = \dfrac{1}{3}$
Lấy ngẫu nhiên một đồng xu tung hai lần được một mặt sấp và một mặt ngửa thì ta có ba trường hợp như sau:
Trường hợp 1: Chọn được đồng xu thứ nhất là S-N và N-S nên $P\left( B \middle| A_{1} \right) = 2.\left( \dfrac{1}{2} \right)^{2} = \dfrac{1}{2}$
Trường hợp 2: Chọn được đồng xu thứ hai là S-N và N-S nên ta có:
$P\left( B \middle| A_{2} \right) = 0,7.0,3 + 0,3.0,7 = 0,42$
Trường hợp 3: Chọn được đồng xu thứ ba là N-N nên $P\left( B \middle| A_{3} \right) = 0$
Áp dụng công thức Bayes ta tính được xác suất chọn được đồng xu thứ hai là:
$P\left( A_{2} \middle| B \right) = \dfrac{P\left( B \middle| A_{2} \right).P\left( A_{2} \right)}{P\left( A_{1} \right).P\left( B \middle| A_{1} \right) + P\left( A_{2} \right).P\left( B \middle| A_{2} \right) + P\left( A_{3} \right).P\left( B \middle| A_{3} \right)} = \dfrac{0,42.\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2} + 0,42.\dfrac{1}{3} + 0.\dfrac{1}{3}} \approx 0,46$
Vậy xác suất chọn được đồng xu thứ hai là $0,46$.
I. Xác suất có điều kiện
- Xác suất có điều kiện của biến cố $A$ khi biết biến cố $B$ đã xảy ra, ký hiệu là $P(A|B)$, được định nghĩa bởi:
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0$
- Đây là xác suất xảy ra của $A$ dưới điều kiện $B$ đã xảy ra.
Ví dụ:
- Một lớp học có 30 học sinh, gồm 18 nữ (trong đó 5 bạn học giỏi).
- Gọi $A$: "Học sinh được chọn học giỏi", $B$: "Học sinh là nữ".
Ta có: $P(B) = \dfrac{18}{30}, \quad P(A \cap B) = \dfrac{5}{30}$
→ $P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{5/30}{18/30} = \dfrac{5}{18}$
II. Công thức Bayes
- Dùng để tính xác suất đảo ngược, tức là từ $P(B|A)$ để tính $P(A|B)$.
- Với $A_1, A_2, ..., A_n$ là một hệ đầy đủ (rời nhau và phủ toàn không gian mẫu), công thức Bayes là:
$P(A_k|B) = \dfrac{P(A_k) \cdot P(B|A_k)}{\sum\limits_{i=1}^{n} P(A_i) \cdot P(B|A_i)}$
Ví dụ:
- 3 bác sĩ trực ca: A (0.4), B (0.35), C (0.25).
- Xác suất gây sai sót tương ứng: 0.01; 0.02; 0.03.
- Ca có nhầm thuốc xảy ra. Tính xác suất A là người trực:
$P(A|B) = \dfrac{0.4 \cdot 0.01}{0.4 \cdot 0.01 + 0.35 \cdot 0.02 + 0.25 \cdot 0.03} = \dfrac{0.004}{0.0185} \approx 0.216$
1. Trong y học – chẩn đoán bệnh:
- Tính xác suất thật sự mắc bệnh sau khi có kết quả test dương tính.
- Cân nhắc tỉ lệ dương tính giả và xác suất nền.
2. Trong trí tuệ nhân tạo – học máy:
- Dùng trong thuật toán Naive Bayes để phân loại email, nhận diện khuôn mặt, phân tích hành vi.
3. Trong tài chính – bảo hiểm:
- Đánh giá rủi ro, chấm điểm tín dụng, đề xuất sản phẩm theo hành vi tiêu dùng.
4. Trong điều tra hình sự – pháp y:
- Dùng Bayes để tính xác suất một người là thủ phạm từ dấu vết ADN.
5. Trong đời sống:
- Ra quyết định trong điều kiện không chắc chắn: trời âm u → xác suất có mưa?
- Phân tích hành vi học sinh: ôn kỹ chương A → xác suất làm đúng?