Đề bài
Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng 4 (m). Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150 000 đồng/$m^{2}$ và 100 000 đồng/$m^{2}$. Hỏi cần bao nhiêu tiền (đơn vị triệu) để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Phương pháp giải
Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào vị trí phù hợp.
Tìm phương trình đường tròn và parabol.
Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng ứng dụng tích phân.
Lời giải chi tiết
Gắn trục tọa độ như hình vẽ. Giả sử A(2; 4) và B(-2; 4).
Gọi phương trình parabol là \(y = a{x^2} + bx + c\) (a > 0).
Vì parabol đi qua các điểm O(0; 0), A(2; 4) và B(-2; 4) nên ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = a{{.0}^2} + b.0 + c}\\{4 = a{{.2}^2} + b.2 + c}\\{4 = a.{{( - 2)}^2} + b.( - 2) + c}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 0}\\{c = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow y = {x^2}\).
Ta có \(OA = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn tâm O(0;0), bán kính \(R = OA = 2\sqrt 5 \) là:
\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} = {(2\sqrt 5 )^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 20\).
Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox là:
\(y = \sqrt {20 - {x^2}} \).
Diện tích trồng hoa (phần tô màu) là:
\({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích nửa hình tròn là \(S = \frac{1}{2}\pi {R^2} = \frac{1}{2}\pi .20 = 10\pi \) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Diện tích trồng cỏ Nhật Bản (phần không tô màu) là:
\({S_2} = S - {S_1} = 10\pi - \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)dx} \) \(\left( {{m^2}} \right)\).
Chi phí trồng hoa và cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó là:
\(150000.{S_1} + 100000.{S_2} \approx 5701349\) đồng \( \approx 3,74\) triệu đồng.