Đề bài
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ABCD$ tâm $O$ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $IA,IB,IC,ID$ gắn cố định tại điểm $I\left( {0;0;9} \right)$ như hình. Điểm $O\left( {0;0;5} \right)$ ; $A\left( {- \sqrt{2};\sqrt{2};5} \right)$ và góc $\widehat{OID}$ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $\overset{\rightarrow}{F_{1}},\overset{\rightarrow}{F_{2}},\overset{\rightarrow}{F_{3}},\overset{\rightarrow}{F_{4}}$ lần lượt là lực căng của các sợi dây $IB,IC,ID,IA$. Biết rằng $\left| \overset{\rightarrow}{F_{1}} \right| = 50$ N và $\left| \overset{\rightarrow}{F_{2}} \right| = 40$ N
Khối lượng $m$ của tấm bảng bằng bao nhiêu kg? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
(Cho gia tốc trọng trường $g = 9,8$ (m/s2) và trọng lượng của tấm bẳng được tính bằng công thức $P = m.g$ )
Phương pháp giải
Vì hệ cân bằng, nên tổng các lực căng đúng bằng trọng lực:
$\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F_{3}} + \overset{\rightarrow}{F_{4}} = m\overset{\rightarrow}{g}\quad\text{(1)}$
Trong đó $\overset{\rightarrow}{g} = (0;0; - 9.8)$là véc-tơ trọng lực hướng xuống.
Lời giải chi tiết
Từ tâm O(0;0;5) và điểm $A( - \sqrt{2};\sqrt{2};5)$vì A là một đỉnh hình vuông tâm O, nên cạnh hình vuông bằng $2\sqrt{2}$
Suy ra các đỉnh còn lại có tọa độ:
$C(\sqrt{2}; - \sqrt{2};5)$
$B( - \sqrt{2}; - \sqrt{2};5)$
$D(\sqrt{2};\sqrt{2};5)$
Dây IA:
$\overset{\rightarrow}{IA} = \overset{\rightarrow}{A} - \overset{\rightarrow}{I} = ( - \sqrt{2};\sqrt{2}; - 4)$
$\left. \Rightarrow \mid \overset{\rightarrow}{IA} \mid = \sqrt{2 + 2 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \right.$
$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{1}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{IA}}{\mid \overset{\rightarrow}{IA} \mid} = \left( {- \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}},\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{2}{\sqrt{5}}} \right) \right.$
Vì $\mid \overset{\rightarrow}{F_{1}} \mid = 50$, nên: $\overset{\rightarrow}{F_{1}} = 50 \cdot \overset{\rightarrow}{u_{1}} = \left( {- \dfrac{50\sqrt{2}}{2\sqrt{5}},\dfrac{50\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{100}{\sqrt{5}}} \right)$
Dây IB:
$\left. \overset{\rightarrow}{IB} = ( - \sqrt{2}; - \sqrt{2}; - 4)\Rightarrow \mid \overset{\rightarrow}{IB} \mid = \sqrt{2 + 2 + 16} = 2\sqrt{5} \right.$
$\overset{\rightarrow}{u_{2}} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{IB}}{2\sqrt{5}} = \left( {- \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{2}{\sqrt{5}}} \right)$
$\overset{\rightarrow}{F_{2}} = 40 \cdot \overset{\rightarrow}{u_{2}} = \left( {- \dfrac{40\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{40\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{80}{\sqrt{5}}} \right)$
$\overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} = \left( {- \dfrac{90\sqrt{2}}{2\sqrt{5}},\dfrac{10\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}, - \dfrac{180}{\sqrt{5}}} \right) = \left( {- \dfrac{45\sqrt{2}}{\sqrt{5}},\dfrac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}, - \dfrac{180}{\sqrt{5}}} \right)$
Từ hình vẽ, do tấm cân bằng nên tổng 4 lực thẳng đứng bằng trọng lực:
$F_{1z} + F_{2z} + F_{3z} + F_{4z} = - mg$
Tổng 4 lực $\mid \overset{\rightarrow}{F_{1}} + \overset{\rightarrow}{F_{2}} + \overset{\rightarrow}{F_{3}} + \overset{\rightarrow}{F_{4}} \mid \approx 129.46$
Vậy: $\left. mg \approx 129.46\Rightarrow m = \dfrac{129.46}{9.8} \approx 13.22 \right.$